Теорема об общем решении

Пусть характеристический многочлен рекуррентного соотношения $f(n) = a_1 f(n - 1) + \dots + a_k f(n - k)$ имеет $k$ различных корней $\lambda_1, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}$. Тогда общее решение этого соотношения имеет вид $f(n) = C_1 \lambda_1^n + \dots + C_k \lambda_k^n$, где константы $C_1, \dots, C_k$ пробегают множество $\mathbb{R}$.

Доказательство следует из лемм о подпространстве решений, о частном решении и о независимости. $\square$

Пусть характеристический многочлен рекуррентного соотношения $$f(n) = a_1 f(n-1) + \dots + a_k f(n-k)$$ имеет $s$ различных корней $\lambda_1, \dots, \lambda_s \in \mathbb{C}$ с кратностями $m_1, \dots, m_s$ соответственно, $m_1 + \dots + m_s = k$. Тогда общее решение этого соотношения над $\mathbb{C}$ имеет вид $$f(n) = (C_1 + \dots + C_{m_1} n^{m_1-1}) \lambda_1^n + \dots + (C_{m_1+\dots+m_{s-1}+1} + \dots + C_k n^{m_s-1}) \lambda_s^n,$$ где константы $C_1, \dots, C_k$ пробегают множество $\mathbb{C}$.

Можно заменить в формулировке теоремы $\mathbb{R}$ на $\mathbb{C}$; получим общее решение того же самого ЛОРСПК, только рассматриваемого как соотношение над $\mathbb{C}$. Если нужно получить общее решение над $\mathbb{R}$, а среди $k$ различных корней характеристического многочлена есть комплексные, нужно заметить, что: комплексные корни многочленов над $\mathbb{R}$ попарно сопряжены; если числа $\lambda_1$ и $\lambda_2$ сопряжены, то $\lambda_1^n$ и $\lambda_2^n$ сопряжены для любого $n$; если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ сопряжены, то комплексные функции $\lambda_1^n$ и $\lambda_2^n$ порождают в $\mathbb{C}^\infty$ то же самое подпространство, что и вещественные функции $\lambda_1^n + \lambda_2^n$ и $i(\lambda_1^n - \lambda_2^n)$. Следовательно, каждую пару комплексно сопряженных функций $\lambda_1^n$ и $\lambda_2^n$ заменим в базисе на $\lambda_1^n + \lambda_2^n$ и $i(\lambda_1^n - \lambda_2^n)$, получая базис из вещественных функций.